Question

12．在同一平面直角坐标系中，曲线C：x²+y²=1经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后，变为曲线C′．
（1）求曲线C′的方程；
（2）在曲线C′上求一点P，使点P到直线x+2y-8=0的距离最小，求出最小值并写出此时点P的直角坐标．

Answer 1

分析 （1）利用伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后，变为曲线C′，可得曲线C′的方程；
（2）利用椭圆C′的参数方程，设点P的坐标为（3cosϕ，2sinϕ），由点到直线的距离公式，得到点P到直线的距离，由三角函数知识，即可得出结论．

解答 解：（1）曲线C′的方程为：${（\frac{x'}{3}）^2}+{（\frac{y'}{2}）^2}=1$，化简得：$\frac{{{{x'}^2}}}{9}+\frac{{{{y'}^2}}}{4}=1$．（4分）
（2）因为椭圆C′的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x'=3cosϕ}\\{y'=2sinϕ}\end{array}}\right.$，ϕ为参数，
所以可设点P的坐标为（3cosϕ，2sinϕ），（6分）
由点到直线的距离公式，得到点P到直线的距离为$d=\frac{{|{3cosϕ+4sinϕ-8}|}}{{\sqrt{5}}}$（7分）
=$\frac{{|{5（\frac{3}{5}cosϕ+\frac{4}{5}sinϕ）-8}|}}{{\sqrt{5}}}$=$\frac{{|{5cos（θ-ϕ）-8}|}}{{\sqrt{5}}}$．（10分）
由三角函数知识知，当θ-ϕ=0时，d取最小值$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$．（12分）
此时ϕ=θ，$cosϕ=cosθ=\frac{3}{5}$，$sinϕ=sinθ=\frac{4}{5}$．（13分）
点P的坐标为（$3×\frac{3}{5}$，$2×\frac{4}{5}$），即（$\frac{9}{5}$，$\frac{8}{5}$）．（14分）

点评 本题考查曲线与方程，考查椭圆的参数方程，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．