Question

17．已知圆G：x²+y²-x-$\sqrt{3}$y=0，经过椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点（m，0）（m＞a）倾斜角为$\frac{3π}{4}$的直线l交椭圆于C，D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用圆$G：{x^2}+{y^2}-x-\sqrt{3}y=0$经过点F，B．求出F，B，得到c，b，求出a．写出椭圆的方程．
（2）设直线l的方程为y=-（x-m）（m＞2）．联立方程组消去y，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），利用韦达定理，结合数量积相遇0，求解m的范围．

解答 解：（1）∵圆$G：{x^2}+{y^2}-x-\sqrt{3}y=0$经过点F，B．
∴$F（1，0），B（0，\sqrt{3}）$，
∴$c=1，b=\sqrt{3}$，∴a²=4．
故椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，…（4分）
（2）设直线l的方程为y=-（x-m）（m＞2）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\\{y=-（x-m）}\end{array}}\right.$消去y得7x²-8mx+（4m²-12）=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{8m}{7}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{7}$，…（6分）
∴${y_1}{y_2}=[{-（{x_1}-m）}]•[{-（{x_2}-m）}]={x_1}{x_2}-m（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$．
∵$\overrightarrow{FC}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{FD}$=（x₂-1，y₂），…（8分）
∴$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=$\frac{{7{m^2}-8m-17}}{7}$…（10分）
∵点F在圆G的内部，∴$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}＜0$，即$\frac{{7{m^2}-8m-17}}{7}＜0$，
解得$\frac{{4-3\sqrt{15}}}{7}＜m＜\frac{{4+3\sqrt{15}}}{7}$，
由△=64m²-28（4m²-12）＞0，解得$-\sqrt{7}＜m＜\sqrt{7}$．
又m＞2，∴$2＜m＜\frac{{4+3\sqrt{15}}}{7}$，…（12分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．