Question

13．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+cosx，当0≤x＜π时，f（x）=-1，则f（$\frac{2017π}{3}$）=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． -1

Answer 1

分析 先求得f（x+2π）=f（x），再根据题意利用函数的周期性求函数值．

解答 解：函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+cosx，
∴f（x+2π）=f（x+π）+cos（x+π）=f（x）+cosx-cosx=f（x），故f（x）的周期为2π．
∵当0≤x＜π时，f（x）=-1，
∴f（$\frac{2017π}{3}$）=f（672π+$\frac{π}{3}$）=f（$\frac{π}{3}$）=-1，
故选：D．

点评 本题主要考查利用函数的周期性求函数值，得到f（x+2π）=f（x），是解题的关键，属于中档题．