Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

．
（1）求证：A，B，C三点共线；
（2）若A(1，cosx)，B(1+sinx，cosx)，x∈[0，

π

2

]，f(x)=

OA

•

OC

-(2m2+

2

3

)•|

AB

|的最小值为

1

2

，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）由条件求得

AB

 和

AC

，可得

AC

=

2

3

•

AB

，从而得到

AC

∥

AB

，即A，B，C三点共线．
（2）先求出

AB

=(sinx，0)，从而求得f（x）=1+sinx+cos2x-(2m2+

2

3

)sinx，由x的范围求得sinx∈[0，1]，利用二次函数的性质求出f（x）的最小值，即可求得实数m的值．

解答：解：∵（1）

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

，∴

AC

=

OC

-

OA

=-

2

3

OA

+

2

3

OB

，

AB

=

OB

-

OA

，…（1分）
∴

AC

=

2

3

•

AB

，…（4分）∴

AC

∥

AB

，即A，B，C三点共线．  …（5分）
（2）由A(1，cosx)，B(1+sinx，cosx)，x∈[0，

π

2

]，…（6分）
∵

AB

=(sinx，0)，∴|

AB

|=

sin2x

=sinx，…（7分）
∵

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

=（1+

2

3

sinx，cosx），
从而 f(x)=

OA

•

OC

-(2m2+

2

3

)•|

AB

|=1+

2

3

sinx+cos2x-(2m2+

2

3

)sinx 
=-sin²x-2m² sinx+2=-（sinx+m²）²+m⁴+2．…（10分）
又x∈[0，

π

2

]，则t=sinx∈[0，1]，f（x）=g（t）=-（t+m²）²+m⁴+2．
由于-m²≤0，∴g（t）=-（t+m²）²+m⁴+2 在[0，1]上是减函数，
当t=1，即x=

π

2

时，f（x）=g（t）取得最小值为-(1+m2)2+m4+2=

1

2

，解得m=±

1

2

，
综上，m=±

1

2

． …（14分）

点评：本题主要考查两个向量共线的条件，两个向量的数量积公式的应用，两个向量的坐标形式的运算，二次函数的性质应用，属于中档题．