Question

已知

AB

=（-2，-3），

BC

=（x，y），

CD

=（6，1）
（Ⅰ）若

BC

∥

AD

，求x与y之间的关心；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若

AC

⊥

BD

，求向量

BC

的模的大小．

Answer 1

考点：平行向量与共线向量,数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）根据向量的坐标表示，利用向量平行，求出x与y的关系；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得x+2y=0①，由

AC

⊥

BD

得（x-2）（x+6）+（y-3）（y+1）=0②；由①②组成方程组，求出x、y的值，即得

BC

以及模长．

解答： 解：（Ⅰ）∵

AB

=（-2，-3），

BC

=（x，y），

CD

=（6，1），
∴

AD

=

AB

+

BC

+

CD

=（-2+x+6，-3+y+1）=（x+4，y-2）；
又∵

BC

∥

AD

，∴x（y-2）-y（x+4）=0，
即x+2y=0；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，x+2y=0；①
∴

AC

=

AB

+

BC

=（x-2，y-3），

BD

=

BC

+

CD

=（x+6，y+1），
又∵

AC

⊥

BD

，
∴（x-2）（x+6）+（y-3）（y+1）=0；②
由①②组成方程组，解得y=-1，y=3；
对应的x=2，x=-6；
∴

BC

=（2，-1），或

BC

=（-6，3）；
∴|

BC

|=

5

，或|

BC

|=3

5

；
∴向量

BC

的模为

5

或3

5

．

点评：本题考查了平面向量的坐标表示以及平面向量的平行与垂直的应用问题，是基础题目．