Question

已知函数f（x）=e^kx（k是不为零的实数，e为自然对数的底数）．
（1）若曲线y=f（x）与y=x²有公共点，且在它们的某一公共点处有共同的切线，求k的值；
（2）若函数h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间(k，

1

k

)内单调递减，求此时k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设切点坐标，再代入两个解析式建立方程①，再由在切点处导数值相等列出方程②，联立方程求解；
（2）由题意求出h（x）解析式，再求出此函数的导数，根据区间关系求出k的范围，再对k分类：k＜-1时和0＜k＜1时，再由条件和导数与函数单调性关系，分别列出等价条件，求出k的范围，最后并在一起．

解答：解：（1）设曲线y=f（x）与y=x²有共同切线的公共点为P（x₀，y₀），
则ekx0=

x

2 0

          ①，
又∵y=f（x）与y=x²在点P（x₀，y₀）处有共同切线，
且f′（x）=ke^kx，（x²）′=2x，
∴kekx0=2x0     ②，
由①②解得，k=±

2

e

．                   
（2）由f（x）=e^kx得，函数h（x）=（x²-2kx-2）e^kx，
∴（h（x））′=[kx²+（2-2k²）x-4k]e^kx
=k[x2+(

2

k

-2k)x-4]ekx=k(x-2k)(x+

2

k

)ekx．              
又由区间(k，

1

k

)知，

1

k

＞k，
解得0＜k＜1，或k＜-1．             
①当0＜k＜1时，
由（h（x））'=k(x-2k)(x+

2

k

)ekx＜0，得-

2

k

＜x＜2k，
即函数h（x）的单调减区间为(-

2

k

，2k)，
要使h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间(k，

1

k

)内单调递减，
则有

0＜k＜1 k≥- 2 k 1 k ≤2k

，解得

2

2

≤k＜1．                                 
②当k＜-1时，
由（h（x））'=k(x-2k)(x+

2

k

)ekx＜0，得x＜2k或x＞-

2

k

，
即函数h（x）的单调减区间为（-∞，2k）和(-

2

k

，+∞)，
要使h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间(k，

1

k

)内单调递减，
则有

k＜-1 1 k ≤2k

，或

k＜-1 k≥- 2 k

，
这两个不等式组均无解．
综上，当

2

2

≤k＜1时，
函数h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间(k，

1

k

)内单调递减．

点评：本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性关系，查了分类讨论思想和转化思想．