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若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(Ⅰ)已知函数f(x)=
x2+mx+mx
的图象关于点(0,1)对称,求实数m的值;
(Ⅱ)已知函数g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,且当x∈(0,+∞)时,g(x)=x2+ax+1,求函数g(x)在(-∞,0)上的解析式;
(Ⅲ)在(Ⅰ)、(Ⅱ)的条件下,当t>0时,若对任意实数x∈(-∞,0),恒有g(x)<f(t)成立,求实数a的取值范围.
分析:(Ⅰ)利用函数f(x)=
x2+mx+m
x
的图象关于点(0,1)对称,可得f(x)+f(-x)=2,代入解析式,即可求得m的值;
(Ⅱ)利用函数g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,可得g(x)+g(-x)=2,根据x∈(0,+∞)时的解析式,即可求得结论;
(Ⅲ)对任意实数x∈(-∞,0),恒有g(x)<f(t)成立,等价于g(x)max<f(t)min,由此可求实数a的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)由题设,∵函数f(x)=
x2+mx+m
x
的图象关于点(0,1)对称,
∴f(x)+f(-x)=2,
x2+mx+m
x
+
x2-mx+m
-x
=2
∴m=1…(4分)
(Ⅱ)∵函数g(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,
∴g(x)+g(-x)=2,
∵当x∈(0,+∞)时,g(x)=x2+ax+1,
∴当x<0时,g(x)=2-g(-x)=-x2+ax+1…(8分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)得f(t)=t+
1
t
+1(t>0)
,其最小值为f(1)=3
g(x)=-x2+ax+1=-(x-
a
2
)2+1+
a2
4
,…(10分)
①当
a
2
<0
,即a<0时,g(x)max=1+
a2
4
<3
,∴a∈(-2
2
,0)
…(12分)
②当
a
2
≥0
,即a≥0时,g(x)max<1<3,∴a∈[0,+∞)…(13分)
由①、②得a∈(-2
2
,+∞)
…(14分)
点评:本题考查函数的对称性,考查函数的解析式,考查恒成立问题,正确求出函数的最值是关键.
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若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x>0,y>0满足f(xy)=f(x)+f(y),则不等式f(x+6)+f(x)≤2f(4)的解集为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x>0,y>0,满足f(
x
y
)=f(x)-f(y)
,则不等式f(x+6)-f(
1
x
)<2f(4)
的解为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=log4(4x+1)+ax(a∈R)
(Ⅰ)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,求a的值;
(Ⅱ)若不等式f(x)+f(-x)≥mt+m对任意x∈R,t∈[-2,1]恒成立,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年宁夏高三第一次月考文科数学试卷 题型:填空题

下列说法:

①函数y=图象的对称中心是(1,1)

 

②“x>2是x2-3x+2>0”的充分不必要条件

③对任意两实数m,n,定义定点“*”如下:m*n=,则函数f(x)=

 

的值域为(-∞,0]

④若函数f(x)=对任意的x1≠x2都有,则实数a的

 

取值范围是(-]

 

其中正确命题的序号为___________.

 

 

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科目:高中数学 来源: 题型:单选题

若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x>0,y>0,满足数学公式,则不等式数学公式的解为


  1. A.
    (-8,2)
  2. B.
    (2,8)
  3. C.
    (0,2)
  4. D.
    (0,8)

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