Question

(1)四面体的一个顶点为A，从其它顶点和各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一个平面上，有多少种不同的取法？

(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？

Answer 1

答案：
解析：

解 (1)如图，含顶点A的四面体的三个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有种取法． 　　含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法，根据加法原理，与顶点A共面三点的取法有＋3＝33种． 　　(2)如图，从10个点中取4个点的取法有种．除去四点共面的取法种数可以得到结果． 　　从四面体同一个面上的6点中取出的四点必定共面，有＝60种；四面体的每一条棱上三点与对棱中点共面，共有6种共面情形；从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形．(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法为－(60＋6＋3)＝141种．