Question

(2006江西，20)如下图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1．另一个侧面ABC是正三角形．

(1)求证：AD⊥BC；

(2)求二面角B－AC－D的大小；

(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角?若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)解法一：作AH⊥面BCD于H，连DH． ， ， ． 又BD=CD，则BHCD是正方形． 则DH⊥BC．∴AD⊥BC． 解法二：取BC的中点O，连AO、DO，则有AO⊥BC，DO⊥BC． ∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD． (2)作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角的平面角． ， ∴M是AC的中点，且MN∥CD． 则， ． 由余弦定理得， ， (3)设E为所求的点，作EF⊥CH于F，连FD．则EF∥AH， ∴EF⊥面BCD．∠EDF就是ED与面BCD所成的角，则． 设EF=x，易得AH=HC=1，则CF=x，， ． 解得，则． 故线段AC上存在E点，且CE=1，使ED与面BCD成30°角．