Question

已知斜率为2的直线l过抛物线y²=px（p＞0）的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为1，则P=    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意，经过F且斜率为2的直线l方程为y=2（x-），与抛物线方程消去y得关于x的一元二次方程，运用根与系数的关系并结合抛物线的定义，可得|AB|=p．用点到直线的距离公式算出原点O到直线AB的距离d=p，根据△OAF面积为1列式，解之可得实数p的值．
解答：解：∵抛物线y²=px（p＞0）的焦点为F（，0），
∴经过F且斜率为2的直线l方程为y=2（x-）
由，消去y得4x²-3px+p²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得x₁+x₂=p
结合抛物线的定义，得|AB|=x₁+x₂+=p
将直线y=2（x-）化成一般式，得2x-y-=0
∴原点O到直线AB的距离d==p
由此可得，△OAF的面积为S_△OAF=×|AB|×d=1，即×p×p=1
解之得p=
故答案为：
点评：本题给出抛物线的焦点弦与原点构成面积为1的三角形，求参数p之值，着重考查了抛物线的方程、简单几何性质和直线与抛物线的关系等知识，属于中档题．