Question

已知锐角三角形ABC中，sin（A+B）=

3

5

，sin（A-B）=

1

5

．
（Ⅰ）求证：tanA=2tanB；
（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高．

Answer 1

分析：（1）把角放在锐角三角形中，使一些运算简单起来，本题主要考查两角和与差的正弦公式，根据分解后的结构特点，解方程组，做比得到结论．
（2）同角的三角函数之间的关系，换元解方程在直角三角形中，用定义求的结果

解答：（I）证明：∵sin（A+B）=

3

5

，sin（A-B）=

1

5

，
∴sinAcosB+cosAsinB=

3

5

，sinAcosB-cosAsinB=

1

5

，
∴sinAcosB=

2

5

，cosAsinB=

1

5

，
∴tanA=2tanB．
（2）解：∵

π

2

＜A+B＜π，sin(A+B)=

3

5

，∴cos(A+B)=-

4

5

，tan(A+B)=-

3

4

即

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3

4

，将tanA=2tanB代入上式并整理得2tan²B-4tanB-1=0
解得tanB=

2± 6

2

，因为B为锐角，所以tanB=

2+ 6

2

，∴tanA=2tanB=2+

6

．
设AB上的高为CD，则AB=AD+DB=

CD

tanA

+

CD

tanB

=

3CD

2+ 6

，由AB=3得CD=2+

6

故AB边上的高为2+

6

．

点评：以锐角三角形为载体，应用同角三角函数之间的关系，应用两角和与差的正弦公式，求解过程中应用代数方法解题，构造直角三角形用锐角三角函数解决问题，这种问题做起来有一定难度．