Question

已知三次函数f（x）=4x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）如果f（x）是奇函数．b=-3，过点（2，10）作y=f（x）图象的切线l，求切线l的方程；
（2）当-1≤x≤1时，f（x）满足-1≤f（x）≤1，求a，b，c的所有可能的取值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是奇函数，可求出f（x）是奇函数，结合b=-3，设出切点坐标，求出切线斜率，结合切线过点（2，10）可得切线l的方程；
（2）由-1≤x≤1时，f（x）满足-1≤f（x）≤1，可知当x=±1，x=±

1

2

时，均有-1≤f（x）≤1，进而可得a，b，c的值．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函数．
由f（-x）=-f（x）得
-4x³+ax²-bx+c=-（4x³+ax²+bx+c）
∴a=c=0，
又∵b=-3
∴f（x）=4x³-3x
∴f′（x）=12x²-3
设切点坐标为P（t，4t³-3t），则切线l的方程为：
y-（4t³-3t）=（12t²-3）（x-t）
将点（2，10）代入得10-（4t³-3t）=（12t²-3）（2-t）
即（t-1）（t²-2t-2）=0，
解得t=1或t=1±

3

故切线l有三条，它们分别为
9x-y-8=0，（45+24

3

）x-y-80-48

3

=0，（45-24

3

）x-y-80+48

3

=0，
（2）∵当-1≤x≤1时，f（x）满足-1≤f（x）≤1，
∴当x=±1，x=±

1

2

时，均有-1≤f（x）≤1，
即-1≤4+a+b+c≤1…①，
-1≤-4+a-b+c≤1
即-1≤4-a+b-c≤1…②，
-1≤

1

2

+

1

4

a+

1

2

b+c≤1…③，
-1≤-

1

2

+

1

4

a-

1

2

b+c≤1
-1≤

1

2

-

1

4

a+

1

2

b-c≤1…④，
①+②得：-2≤8+2b≤2，即b≤-3
③+④得：-2≤1+2b≤2，即b≥-3
∴b=-3…⑤
将⑤代入①得-2≤a+c≤0
将⑤代入②得0≤a+c≤2
将⑤代入③得0≤

1

4

a+c≤2
将⑤代入④得-2≤

1

4

a+c≤0
解得a=c=0
综上，a=0，b=-3，c=0

点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，函数奇偶性的性质，熟练掌握求过某点切线方程的方法和步骤是解答的关键．