Question

已知定义域为R上的函数f（x）满足，对任意的x，y，恒有f(x-y)=

f(x)

f(y)

且当x＞0时，0＜f(x)＜1，
（1）求证f（0）=1，且当x＜0时有f（x）＞1．
（2）判断f（x）在R上的单调性并证明．
（3）若对任意的x∈R，不等式f（ax²）•f（1-ax）＞f（2）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在恒等式中，令x=y=0，即可得到f（0）的值，利用恒等式找到f（x）与f（-x）之间的关系，利用x＞0时，0＜f（x）＜1，即可得到当x＜0时有f（x）＞1；
（2）利用恒等式将不等式f（ax²）•f（1-ax）＞f（2）转化为f（ax²-ax+1）＞f（2），再利用函数的单调性，可以得到ax²-ax+1＜2对x∈R恒成立，利用函数的性质，列出不等关系，求解即可得到实数a的取值范围．

解答：证明：（1）∵已知定义域为R上的函数f（x）满足，对任意的想x，y，恒有f(x-y)=

f(x)

f(y)

，
∴令x=y=0，可得f(0)=

f(0)

f(0)

=1，即f（0）=1，
再令x=0，可得f(-y)=

f(0)

f(y)

=

1

f(y)

，
∴f(y)=

1

f(-y)

，即f（x）=

1

f(-x)

，
∴当x＜0时，-x＞0，
∵x＞0时，0＜f（x）＜1，
∴0＜f（-x）＜1，
∴f（x）=

1

f(-x)

＞1，
故f（0）=1，且当x＜0时有f（x）＞1；
（2）f（x）在R上递减，
证明如下：设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵f(x-y)=

f(x)

f(y)

，且当x＞0时，0＜f（x）＜1，
∴

f(x2)

f(x1)

=f(x2-x1)＜1，又f(x1)＞0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上递减；
（3）∵f(x-y)=

f(x)

f(y)

，
∵f(x+y)=f[x-(-y)]=

f(x)

f(-y)

=f(x)f(y)，
∴f（ax²）•f（1-ax）=f（ax²-ax+1）＞f（2）对x∈R恒成立，
由（2）可知，f（x）在R上单调递减，
∴ax²-ax+1＜2对x∈R恒成立，即ax²-ax-1＜0对x∈R恒成立，
①当a=0时，-1＜0恒成立，符合题意；
②当a≠0时，则有

a＜0 △=a2+4a＜0

，
∴-4＜a＜0．
综合①②，所求实数a的取值范围为（-4，0]．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，函数单调性的判断与证明，函数的恒成立问题．证明函数的单调性要抓住函数单调性的定义，函数的恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合进行求解．属于中档题．