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【题目】如图所示,点F1(﹣1,0),F2(1,0),动点M到点F2的距离是 ,线段MF1的中垂线交MF2于点P.

(1)当点M变化时,求动点P的轨迹G的方程;
(2)设直线l:y=kx+m与轨迹G交于M、N两点,直线F2M与F2N的倾斜角分别为α、β,且α+β=π,求证:直线l经过定点,并求该定点的坐标.

【答案】
(1)解:连接PF1,由

又∵|PM|=|PF1|,∴

由椭圆的定义可知2a=2 ,c=1,b=1.

即有动点P的轨迹G的方程为


(2)证明:依题意 ,消去y,得

(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,

设M(x1,y1),N(x2,y2),

则x1+x2=﹣ ,x1x2=

= =

依题意得, + =0,

+ =0,

化简得:2kx1x2+(m﹣k)(x1+x2)﹣2m=0,

∴2k +(m﹣k)(﹣ )﹣2m=0,

整理得,m=﹣2k,

∴直线l的方程为y=k(x﹣2),

因此直线l经过定点,该定点坐标为(2,0).


【解析】(1)连接PF1 , 运用垂直平分线定理和椭圆的定义,可得P的轨迹为椭圆,方程为 ;(2)联立直线方程和椭圆方程,消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0,运用韦达定理和直线的斜率公式,化简整理,再由直线恒过定点的方法,即可得到所求定点.

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