Question

3．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等边三角形，CC₁=2AC=2．
（Ⅰ）求三棱锥C₁-CB₁A的体积；
（Ⅱ）在线段BB₁上寻找一点F，使得CF⊥AC₁，请说明作法和理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中点E连结AE，三棱锥C₁-CB₁A的体积${V_{{C_1}-AC{B_1}}}={V_{A-C{B_1}{C_1}}}=\frac{1}{3}{S_{△C{B_1}{C_1}}}•|{AE}|$，由此能求出结果．
（Ⅱ）在矩形BB₁C₁C中，连结EC₁，推导出Rt△C₁CE∽Rt△CBF，从而CF⊥EC₁，再求出AE⊥CF，由此得到在BB₁上取F，使得$BF=\frac{1}{4}$，连结CF，CF即为所求直线．

解答 解：（Ⅰ）取BC中点E连结AE，
在等边三角形ABC中，AE⊥BC，
又∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
侧面BB₁CC₁⊥面ABC，
面BB₁CC₁∩面ABC=BC，∴AE⊥面BB₁CC₁，
∴AE为三棱锥B₁-ACC₁的高，
又∵AB=AC=BC=1，∴$AE=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又∵底面CC₁B₁为直角三角形，
∴${S}_{△C{C}_{1}B}$=$\frac{1}{2}×{C}_{1}C×{B}_{1}{C}_{1}$=$\frac{1}{2}×2×1$=1，
∴三棱锥C₁-CB₁A的体积${V_{{C_1}-AC{B_1}}}={V_{A-C{B_1}{C_1}}}=\frac{1}{3}{S_{△C{B_1}{C_1}}}•|{AE}|$=$\frac{1}{3}×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
（Ⅱ）作法：在BB₁上取F，使得$BF=\frac{1}{4}$，连结CF，CF即为所求直线．
证明：如图，在矩形BB₁C₁C中，连结EC₁，
∵$\frac{{C{C_1}}}{CE}=\frac{2}{{\frac{1}{2}}}=4$，$\frac{CB}{BF}=\frac{1}{{\frac{1}{4}}}=4$，∴$\frac{{C{C_1}}}{CE}=\frac{CB}{BF}$，
∴Rt△C₁CE∽Rt△CBF，∴∠CC₁E=∠BCF，
又∵∠BCF+∠FCC₁=90°，∴∠CC₁E+∠FCC₁=90°，∴CF⊥EC₁，
又∵AE⊥面BB₁C₁C，而CF?面BB₁C₁C，∴AE⊥CF，
又∵AE∩EC₁=E，∴CF⊥面AEC₁，
又∵AC₁?面AEC₁，∴CF⊥AC₁．

点评 本题考查三棱锥的求法，考查满足线线垂直的点的确定与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．