Question

【题目】已知圆锥曲线 E： ．
（I）求曲线 E的离心率及标准方程；
（II）设 M（x0 ， y0）是曲线 E上的任意一点，过原点作⊙M：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8的两条切线，分别交曲线 E于点 P、Q．
①若直线OP，OQ的斜率存在分别为k1 ， k2 ， 求证：k1k2=﹣ ；
②试问OP2+OQ2是否为定值．若是求出这个定值，若不是请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）由椭圆定义可知，曲线E是以 和 为焦点，长轴长为 的椭圆，
设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a、b、c．
∴ ， ，则 ，
∴椭圆的离心率 ，E的标准方程为 ．
（II）①证明：若过原点与⊙M相切的直线斜率存在设为k，
则切线方程为y=kx，∴ ，
整理得 ．
由题设可知k1 ， k2是以上关于k的一元二次方程的两个实根，
∴ ，即 ．
②设 P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．
当直线 O P，OQ的斜率存在时，
由①易得 ， ，
而 = = = =
当直线 O P或 OQ的斜率不存在时，圆 M与y轴相切，且圆 M也与x轴相切 P，Q是椭圆 E的两个顶点，∴O P2+OQ2=a2+b2=36．
综上所述：O P2+OQ2为定值36．
【解析】（I）由椭圆定义可知，曲线E是以 和 为焦点，长轴长为 的椭圆，即可得出．（II）①若过原点与⊙M相切的直线斜率存在设为k，则切线方程为y=kx，可得 ，整理得 ．由题设可知k1 ， k2是以上关于k的一元二次方程的两个实根，利用根与系数的关系即可得出．②设 P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．当直线 O P，OQ的斜率存在时，由①易得 ， ，利用两点之间的距离、根与系数的关系即可得出．当直线 O P，OQ的斜率不存在时直接验证即可得出．