Question

14．设α、β是方程x²-（k-2）x+（k²+3k+5）=0的两个实数根，当k为何值时，α²+β² 有最小值，并求出这个最小值．

Answer 1

分析 根据二次函数的性质得到不等式组，求出α²+β² 的表达式以及k的范围，从而求出α²+β² 的最小值即可．

解答 解：若方程的两个实数根为α和β，
∴$\left\{\begin{array}{l}{α+β=k-2}\\{αβ{=k}^{2}+3k+5}\\{△{=（k-2）}^{2}-4{（k}^{2}+3k+5）≥0}\end{array}\right.$，
则 $\left\{\begin{array}{l}{{α}^{2}{+β}^{2}{=（α+β）}^{2}-2αβ={-k}^{2}-10k-6}\\{-4≤k≤-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
而y=-k²-10k-6=-（k+5）⁵+19，
对称轴k=-5，函数在[-4，-$\frac{4}{3}$]递减，
∴k=-$\frac{4}{3}$时：y最小，最小值是$\frac{50}{9}$
∴α²+β²在区间[-4，-$\frac{4}{3}$]上的最小值$\frac{50}{9}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查解不等式组问题，是一道中档题．