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(2012•蓝山县模拟)已知正项数列{an}的首项a1=
1
2
,函数f(x)=
x
1+x
,g(x)=
2x+1
x+2

(1)若正项数列{an}满足an+1=f(an)(n∈N*),证明:{
1
an
}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)若正项数列{an}满足an+1≤f(an)(n∈N*),数列{bn}满足bn=
an
n+1
,证明:b1+b2+…+bn<1;
(3)若正项数列{an}满足an+1=g(an),求证:|an+1-an|≤
3
10
•(
3
7
n-1
分析:(1)利用an+1=f(an)(n∈N*),推出an+1与an的关系,然后推出{
1
an
}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)通过an+1≤f(an)(n∈N*),推出an
1
n+1
,利用bn=
an
n+1
,放大bn,然后通过求和b1+b2+…+bn证明结论.
(3)由题意推出a2-a1>0.证明an+1-an>0,数列是递增数列,推出|an+1-an|与|an-an-1|的关系,通过放缩法证明即可.
解答:证明:(1)∵an+1=f(an)=
an
1+an
,所以
1
an+1
=
an+1
an
=
1
an
+1

1
an+1
-
1
an
=1

∴{
1
an
}是以2为首项,1为公差的等差数列,
1
an
=2+(n-1)
,即an=
1
n+1
.(3分)
(2)∵an+1≤f(an)=
an
1+an
,an>0,
1
an+1
an+1
an
,即
1
an+1
-
1
an
≥1

当n≥2时
1
an
-
1
a1
=(
1
a2
-
1
a1
)+(
1
a3
-
1
a2
)+…+(
1
an
-
1
an-1
)≥n-1

1
an
≥n+1

an
1
n+1

当n=1时,上式也成立,
an
1
n+1
,(n∈N*
∴bn=
an
n+1
1
(n+1)2
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

∴b1+b2+…+bn(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)  +…+(
1
n
-
1
n+1
)
=1-
1
n+1
<1
.(8分)
(3)∵a1=
1
2
,a2=g(a1)=
4
5
,a2-a1=
4
5
-
1
2
=
3
10
>0.
又∵an+1-an=
2an+1
2+an
-
2an-1+1
2+an-1
=
3(an-an-1
(an+2)(an-1+2) 

由迭代关系可知,an+1-an>0,∴an≥a1=
1
2

又∵(2+an)(2+an-1)=(2+
2an-1+1
2+an-1
)(2+an-1)=5+4an-1≥7,
3
(2+an)(2+an-1
3
7

∴|an+1-an|=
3
(2+an)(2+an-1)
|an-an-1|≤
3
7
|an-an-1|,
∴|an+1-an|≤
3
7
|an-an-1|≤(
3
7
2|an-1-an-2|≤…≤(
3
7
n-1|a2-a1|=
3
10
3
7
n-1.(13分)
点评:本题考查放缩法的应用,等差关系的确定,数列与不等式的综合应用,考查分析问题解决问题的能力,转化思想的应用.
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