Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，x≥0}\\{-{x}^{2}-2x，x＜0}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）设函数f（x）在[t，t+4]（t∈R）上的最大值为g（t），求g（t）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）分别讨论区间[t，t+4]与函数单调区间的关系，结合一元二次函数单调性的性质进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）当x=0时，f（0）=0，
若x＜0，则-x＞0，
则f（-x）=x²+2x=-（-x²-2x）=-f（x），
若x＞0，则-x＜0，
则f（-x）=-x²+2x=-（x²-2x）=-f（x），
综上f（-x）=-f（x），即f（x）为奇函数性；
（Ⅱ）作出函数f（x）的图象如图：
由图象知当x=-1时，函数f（x）=1，当x=1时，f（x）=-1，
当x≥0时，由f（x）=x²-2x=1，得x²-2x-1=0，此时x=1+$\sqrt{2}$，此时1+$\sqrt{2}$-（-1）=2+$\sqrt{2}$＜4，
当x＜0时，由f（x）=-x²-2x=-1，得x²+2x-1=0，此时x=-1-$\sqrt{2}$，此时1-（-1-$\sqrt{2}$）=2+$\sqrt{2}$＜4，
而区间[t，t+4]长度为4，区间[t，t+4]的中点为x=t+2，
①若t≤-1，且t+4≥1+$\sqrt{2}$，即$\sqrt{2}-$3≤t≤-1时，此时函数在[t，t+4]上的最大值为g（t）=f（t+4）=（t+4）²-2（t+4）=t²+6t+8，
②若-1≤t+4≤1+$\sqrt{2}$，即-5≤t≤$\sqrt{2}$-3，时，此时函数在[t，t+4]上的最大值为g（t）=f（-1）=1，
③若t+4≤-1，即t≤-5时，此时函数在[t，t+4]上为增函数，此时的最大值为g（t）=f（t+4）=（t+4）²-2（t+4）=t²+6t+8．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数在闭区间上的最值，利用分类讨论的思想是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．