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    已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
    （Ⅰ）求双曲线C的方程；
    （Ⅱ）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；
    （Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左，右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．
    【答案】分析：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0，由该直线与圆相切，知双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．由此利用双曲线C的一个焦点为 ，能求出双曲线C的方程．
    （Ⅱ）由，得（1-m2）x2-2mx-2=0．令f（x）=（1-m2）x2-2mx-2．直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．由此能求出直线l在y轴上的截距b的取值范围．
    （Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|QF1|，若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|．由此能求出点N的轨迹方程．
    解答：解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，
    则kx-y=0
    ∵该直线与圆相切，
    ∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．
    故设双曲线C的方程为．
    又双曲线C的一个焦点为 
    ∴2a2=2，a2=1．
    ∴双曲线C的方程为x2-y2=1．
    （Ⅱ）由
    得（1-m2）x2-2mx-2=0．
    令f（x）=（1-m2）x2-2mx-2
    直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．
    因此
    解得．
    又AB中点为，
    ∴直线l的方程为．
    令x=0，
    得．
    ∵，
    ∴
    ∴．
    （Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，
    则延长QF2到T，使|QT|=|QF1|，
    若Q在双曲线的左支上，
    则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|．
    根据双曲线的定义|TF2|=2，
    所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，
    即点T的轨迹方程是①
    由于点N是线段F1T的中点，
    设N（x，y），T（xT，yT）．
    则，即．
    代入①并整理得点N的轨迹方程为x2+y2=1.
    点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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    x2
    4
    -
    y2
    5
    =1    的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=
    		2
    |AF|    ，则A点的横坐标为（　　）

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    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
    4
    3
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    1
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    （1）求椭圆的方程；
    （2）若直MA交直x=4于点P，过P作直线MB的垂线x轴于点Q，Q的坐标；
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    已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A (0，)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于y = x对称．

        （1）求双曲线C的方程；

        （2）若Q是双曲线线C上的任一点，F1，F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程；

        （3）设直线y = mx + 1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线l经过M (–2，0)及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

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