Question

在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（4m，0）（M＞0，m为常数），离心率等于0.8，过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M、N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若θ=90°时，+=，求实数m；
（3）试问+的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）由题意，c=4m，=0.8，∴a=5m，b=3m，∴椭圆C的标准方程为；
（2）θ=90°时，N（4m，），NF=MF=
∵+=，∴=，∴m=；
（3）+=，证明如下：
由（2）知，当斜率不存在时，+=
当斜率存在时，设1：y=k（x-4m）代入椭圆方程得（9+25k²）x²-200mk²x+25m²（16k²-9）=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则MF=e（）=5m-，NF=5m-，
∴+==与θ无关．
分析：（1）利用椭圆的性质，可得椭圆的标准方程；
（2）求出MF、NF，利用+=，即可求实数m；
（3）分类讨论，利用焦半径公式，结合韦达定理，可知+的值与θ的大小无关．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．