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如图,已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC上,
且AE=AF.
(1)证明:B,D,H,E四点共圆;
(2)证明:CE平分∠DEF.
分析:(I),要证明B,D,H,E四点共圆,根据四点共圆定理只要证∠EBD+∠EHD=180°即可
(II)由(I)知B,D,H,E四点共圆可得∠CED=30°,要证CE平分∠DEF,只要证明∠CEF=30°即可
解答:解:(I)在△ABC中,因为∠B=60°
所以∠BAC+∠BCA=120°
因为AD,CE是角平分线
所以∠AHC=120°(3分)
于是∠EHD=∠AHC=120°
因为∠EBD+∠EHD=180°,所以B,D,H,E四点共圆(5分)
(II)连接BH,则BH为∠ABC得平分线,得∠HBD=30°
由(I)知B,D,H,E四点共圆
所以∠CED=∠HBD=30°(8分)又∠AHE=∠EBD=60°
由已知可得,EF⊥AD,可得∠CEF=30°
所以CE平分∠DEF
点评:本题主要证明平面几何中四点共圆的判定理及性质定理的综合应用,解决此类问题的关键是灵活利用平面几何的定理,属于基本定理的简单运用.
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EF
FC
+
AF
FD
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3

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π
2
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T
S
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3
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