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已知函数f(x)=ln x-
a
x

(1)若f(x)存在最小值且最小值为2,求a的值;
(2)设g(x)=lnx-a,若g(x)<x2在(0,e]上恒成立,求a的取值范围.
考点:导数在最大值、最小值问题中的应用
专题:综合题,导数的综合应用
分析:(1)求导数,分类讨论,确定函数的单调性,利用f(x)存在最小值且最小值为2,求a的值;
(2)分离参数,可得a>x2+lnx,构造h(x)=x2+lnx,确定函数h(x)在(0,e]上单调递增,求出最大值,即可求a的取值范围.
解答: 解:(1)求导数,f′(x)=
x+a
x2
(x>0),
∴①当a≥0时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上递增,∴函数f(x)[1,e]上最小值为f(1)=-a=2,
∴a=-2与a≥0矛盾;
②当a<0时,f(x)在(0,-a)上递减,(-a,+∞)上递增,∴函数f(x)[1,e]上最小值为f(-a)=ln(-a)+1=2,解得a=-e;
(2)g(x)<x2,即a>x2+lnx
构造h(x)=x2+lnx,则h′(x)=2x+
1
x

在(0,e]上,h′(x)=2x+
1
x
>0,∴函数h(x)在(0,e]上单调递增,
∴x=e时,函数h(x)的最大值为e2+lne,
∴a>e2+lne.
点评:本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用,考查函数的单调性,正确分离参数求最值是关键.
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x2
a2
+
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=2
2

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3
2
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