Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l经过点P(

1

2

，1)，倾斜角α=

π

6

，曲线C的极坐标方程为ρ=

2

cos(θ-

π

4

)．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设l与曲线C相交于两个点A、B，求|PA|•|PB|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用过点（x₀，y₀）、倾斜角为α 的直线的参数方程

x=x0+tcosα y=y0+tsinα

，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ把极坐标
方程化为直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线方程代入圆的方程化简可得  t²+

1

2

t-

1

4

=0，利用根与系数的关系，以及
|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|求出|PA|•|PB|．

解答：解：（Ⅰ） 直线l的参数方程为

x= 1 2 + 3 2 t y=1+ 1 2 t

 （t为参数） ①，

由于曲线C的极坐标方程为ρ=

2

cos(θ-

π

4

)=cosθ=sinθ，∴ρ²=ρcosθ+ρ sinθ，
∴x²+y²=x+y，即  (x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

1

2

   ②．
（Ⅱ）把②代入①整理得 t²+

1

2

t-

1

4

=0，∴t₁+t₂=-

1

4

，t₁t₂=-

1

4

，
|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=

1

4

．

点评：本题考查求直线的参数方程的方法，把极坐标方程化为普通方程的方法，以及直线方程中参数的意义．