Question

已知函数f(x)=lnx-

a

x

+

a

x2

（a∈R）．
（1）若a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）在[1，+∞）内为单调增函数，求实数a的取值范围；
（3）对于n∈N^*，求证：

1

(1+1)2

+

2

(2+1)2

+

3

(3+1)2

…+

n

(n+1)2

＜ln(n+1)．

Answer 1

分析：（1）求出函数的导数，判断导数的正负，得到函数有极小值0，无极大值．
（2）由条件可知f^′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，得到a的范围．
（3）当a=1时，由（2）知，f（x）在[1，+∞）内为单调增函数，即x＞1时，f（x）＞f（1）=0，即lnx＞

1

x

-

1

x2

(x＞1)，就可以得到结论．

解答：解：f′(x)=

1

x

+

a

x2

-

2a

x3

=

x2+ax-2a

x3

(x＞0)
（1）若a=1，f′(x)=

x2+x-2

x3

，令f^′（x）=0，得x=1或x=-2（负值舍去）
当0＜x＜1时，f^′（x）＜0；当x＞1时，f^′（x）＞0
∴f（x）的极小值为f（1）=0，无极大值．
（2）∵f（x）在[1，+∞）内为单调增函数
∴f′(x)=

x2+ax-2a

x3

≥0在[1，+∞）上恒成立
即x²+ax-2a≥0在[1，+∞）上恒成立
令g（x）=x²+ax-2a
当-

a

2

≤1即a≥-2时，g（1）≥0，得a≤1，∴-2≤a≤1
当-

a

2

＞1即a＜-2时，g(-

a

2

)≥0，得-8≤a≤0，∴-8≤a＜-2
综上a的取值范围是[-8，1]
（3）当a=1时，由（2）知，f（x）在[1，+∞）内为单调增函数
即x＞1时，f（x）＞f（1）=0
即lnx＞

1

x

-

1

x2

(x＞1)
取x=

n+1

n

(n∈N*)
∵

n+1

n

＞1
∴ln

n+1

n

＞

n

n+1

-

n2

(n+1)2

=

n

(n+1)2

∴

n

i=1

i

(i+1)2

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

=ln(n+1)

点评：本题主要考查了利用导数求函数的极值、函数单调性与导数之间关系的应用、数列与不等式的综合应用，用到了分类讨论、等价转化的数学思想和方法．