Question

（2010•抚州模拟）给出下列命题：
①不存在实数a，b使f（x）=lg（x²+bx+c）的定义域、值域均为一切实数；
②函数y=f（x+2）图象与函数y=f（2-x）图象关于直线x=2对称；
③方程lnx+x=4有且只有一个实数根；
④a=-1是方程a²x²+（a+2）y²+2ax+a=0表示圆的充分不必要条件．其中真命题的序号是

①③④

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：根据对数函数的值域与定义域，可以判断①的真假；根据函数图象的对称变换法则，我们可以判断②的真假；根据函数零点个数与对应方程根的个数之间的关系，可以判断③的真假；利用圆的方程的特点，我们可以判断④的对错；进而得到答案．

解答：解：若函数f（x）=lg（x²+bx+c）的定义域为R，则x²+bx+c的最小值A必定大于0，
则函数的值域为[lgA，+∞）≠R，
故不存在实数a，b使f（x）=lg（x²+bx+c）的定义域、值域均为一切实数，①为真命题；
对于②，若f（x）=x²，则函数y=f（x+2）=（x+2）²图象与函数y=f（2-x）=（2-x）²图象不关于直线x=2对称，故②为假命题；
由于函数y=ln x与函数y=-x+4的图象有且只有一个交点，故③方程ln x+x=4有且只有一个实数根为真命题；
由于a=-1或a=2是方程a²x²+（a+2）y²+2ax+a=0表示圆的充分必要条件，
从而a=-1是方程a²x²+（a+2）y²+2ax+a=0表示圆的充分不必要条件，故④为真命题；
其中真命题的序号是 ①③④
故答案为：①③④．

点评：本题考查的知识点是命题真假判断，其中熟练掌握对数函数的定义域，函数图象，根的存在性及根的个数判断，二元二次方程表示圆的条件是解答本题的关键．