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已知f(x)=,a≠b,
求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.
证明略
方法一 ∵f(a)=,f(b)= ,
∴原不等式化为|-|<|a-b|.
∵|-|≥0,|a-b|≥0,
∴要证|-|<|a-b|成立,
只需证(-2<(a-b)2.
即证1+a2+1+b2-2<a2-2ab+b2,
即证2+a2+b2-2<a2-2ab+b2.
只需证2+2ab<2
即证1+ab<.
当1+ab<0时,∵>0,
∴不等式1+ab<成立.
从而原不等式成立.
当1+ab≥0时,要证1+ab<,
只需证(1+ab)2<(2,
即证1+2ab+a2b2<1+a2+b2+a2b2,即证2ab<a2+b2.
∵a≠b,∴不等式2ab<a2+b2成立.∴原不等式成立.
方法二 ∵|f(a)-f(b)|=|-|
==
又∵|a+b|≤|a|+|b|=++
<1.
∵a≠b,∴|a-b|>0.∴|f(a)-f(b)|<|a-b|.
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