Question

给定向量

a

，

b

且满足|

a

-

b

|=1，若对任意向量

m

满足(

a

-

m

)•(

b

-

m

)=0，则|

m

|的最大值与最小值之差为（　　）

• A、2
• B、1
• C、

  2

  2

• D、

  1

  2

Answer 1

分析：令 

m

=

0

 可得

a

⊥

b

，有|

a

+

b

|=|

a

-

b

|=1，当 

m

≠

0

 时，把 (

a

-

m

)•(

b

-

m

)=0 展开化简可得|

m

|=1，故|

m

|的最大值为1，最小值为0．

解答：解：∵对任意向量

m

满足(

a

-

m

)•(

b

-

m

)=0，∴当

m

=

0

 时，

a

•

b

=0，故

a

⊥

b

．
∵|

a

-

b

|=1，由向量加减法的几何意义得|

a

+

b

|=1．
由 (

a

-

m

)•(

b

-

m

)=0 可得，

a

•

b

-

m

•（

a

+

b

）+

m

2=0，∴

m

2=

m

•（

a

+

b

），
∴|

m

|2=|

m

|•|

a

+

b

|=|

m

|，∴|

m

|=1，
又∵|

m

|≥0，故|

m

|的最大值与最小值之差为 1-0=1，
故选 B．

点评：本题考查向量的模的定义，向量加减法的几何意义，两个向量垂直的条件．