Question

已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，若x∈[

1

2

，1]时，不等式f（1+xlog₂a）≤f（x-2）恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，x∈[

1

2

，1]时，不等式f（1+xlog₂a）≤f（x-2）恒成立，可得x∈[

1

2

，1]时，|1+xlog₂a|≤2-x，化为

x-3

x

≤log2a≤

1-x

x

，x∈[

1

2

，1]．再利用函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，x∈[

1

2

，1]时，不等式f（1+xlog₂a）≤f（x-2）恒成立，
∴x∈[

1

2

，1]时，|1+xlog₂a|≤2-x，
∴x-2≤1+xlog₂a≤2-x，x∈[

1

2

，1]．
∴

x-3

x

≤log2a≤

1-x

x

，x∈[

1

2

，1]．
∴-2≤log₂a≤0，
解得

1

4

≤a≤1．
故答案为：[

1

4

，1]

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性，属于中档题．