Question

如图所示，在圆锥PO中， PO=,ʘO的直径AB=2， C为弧AB的中点，D为AC的中点.

(1)求证：平面POD^平面PAC；

(2)求二面角B—PA—C的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

(1)见解析；（2）

【解析】

试题分析：(1)通过证平面PAC内直线AC^平面POD，由平面与平面垂直的判定定理得平面PAC^平面POD；（2）用垂面法作出二面角的平面角，然后在直角三角形中利用边长求平面角的余弦值.

试题解析：证明：(1)如图所示，连接OC.

OA=OC,D是AC的中点，\AC^OD，在圆锥PO中，PA=PC，

则AC^PD，又PDÇOD=D，\AC^平面POD,而ACÌ平面PAC,

\平面POD^平面PAC            5分

（2）在平面POD中，过O作OH^PD于H，由（1）知：

平面POD^平面PAC，\OH^平面PAC，过H作HG^PA于G，连OG，则OG^PA（三垂线定理）

\ÐOGH为二面角B—PA—C的平面角，

在RtDODA中，OD=OA×45⁰=.

在RtDPOD中，OH= = =.

在RtDPOA中，OG= = =.

在RtDOHG中，sinÐOGH= = =.

所以，cosÐOGH= = = 

所以，二面角B—PA—C的余弦值为.          10分

考点：1.平面与平面垂直的判定；2.二面角的平面角作法与求法