Question

关于函数f(x)=4sin(2x+

π

3

)，(x∈R)有下列命题：其中正确的是（　　）
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整数倍；
②f（x）的表达式可改写为f(x)=4cos(2x-

π

6

)；
③f（x）的图象关于点(-

π

6

，0)对称；
④f（x）的图象关于直线x=

π

3

对称；
⑤f（x）在区间(-

π

3

，

π

12

)上是增函数．

A．②③⑤

B．①②③

C．②③④

D．①③⑤

Answer 1

分析：利用三角函数的图象和性质分别判断．

解答：解：①由f（x₁）=f（x₂）=0，得2x1+

π

3

=kπ，2x2+

π

3

=mπ，所以2x₁-2x₂=（k-m）π，即x1-x2=

(k-m)π

2

，k，m∈Z，所以①错误．
②f(x)=4cos(2x-

π

6

)=4cos?(

π

6

-2x)=4sin?[

π

2

-(

π

6

-2x)]=4sin?(2x+

π

3

)，所以②正确．
③因为f(-

π

6

)=4sin?[2(-

π

6

)+

π

3

]=4sin?0=0，所以f（x）的图象关于点(-

π

6

，0)对称，所以③正确．
④因为f(

π

3

)=4sin?(2×

π

3

+

π

3

)=4sin?π=0不是函数的最大值，所以f（x）的图象关于直线x=

π

3

不对称，所以④不正确．
⑤由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，当k=0时，得-

5π

12

≤x≤

π

6

，
即函数的一个单调增区间为[-

5π

12

，

π

6

]，所以函数f（x）在区间(-

π

3

，

π

12

)上是增函数，所以⑤正确．
故选A．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的性质，综合性较强．