Question

曲线C上的动点P到定点Q（1，0）与它到直线x+1=0的距离相等．求：
（1）曲线C的方程；
（2）过点Q的直线l与曲线C交于A、B两点，求证：

OA

•

OB

为定值．
（温馨提示：

a

={x1，y1}

b

={x2，y2}，则

a

•

b

=x1x2+y1y2）

Answer 1

分析：（1）由曲线C上的动点P到定点Q（1，0）与它到直线x+1=0的距离相等能求出曲线C的方程．
（2）设l：y=k（x-1）代入y²=4x得kx²-（2k²+4）x+k²=0．由此能够证明

OA

•

OB

为定值．

解答：解：分（1）∵曲线C上的动点P到定点Q（1，0）与它到直线x+1=0的距离相等，
∴曲线C的方程是y²=4x…4分
（2）设l：y=k（x-1），
代入y²=4x，
得kx²-（2k²+4）x+k²=0…6分
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2-k2(x1+x2)+k2=-3…9分
当l斜率不存在时，也成立∴

OA

•

OB

=-3．…10分

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．