Question

 

已知椭圆C：的焦点在y轴上，且离心率为．过点M(0，3)的直线l与椭圆C相交于两点A、B．

    （1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当||<时，求实数λ的取值范围．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）由题知a²=m，b²=1，∴ c²=m-1

∴ ，解得m=4．

∴ 椭圆的方程为．  …………………………………………………4分

（2）当l的斜率不存在时，，不符合条件． ………5分

设l的斜率为k，则l的方程为y=kx+3．

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x₀，y₀)，

联立l和椭圆的方程：  消去y，整理得(4+k²)x²+6kx+5=0，

∴ Δ=(6k)²-4×(4+k²)×5=16k²-80>0，解得k²>5．

且，

∴ =，

由已知有，

整理得13k⁴-88k²-128<0，解得 ，

∴ 5<k²<8．………………………………………………………………………9分

∵ ，即(x₁，y₂)+(x₂，y₂)= λ(x₀，y₀)，

∴ x₁+x₂=λx₀，y₁+y₂₌λy₀，

当λ=0时，x₁+x₂=，，

显然，上述方程无解．

当λ≠0时，=，．

∵ P(x₀，y₀)在椭圆上，

∴ ，

化简得．

由 5<k²<8，可得3<²<4，

∴ λ∈(-2，-)∪(，2)．

即λ的取值范围为(-2，)∪(，2)．…………………………………12分