【题目】设函数f(x)=-x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率;
(2)求函数的单调区间与极值.
【答案】(1)曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1
(2)f(x)在(-∞,1-m)和(1+m,+∞)内为减函数;最大值为f(1+m)=m3+m2-
;最小值为f(1-m)=-
m3+m2-
【解析】
试题分析:(1)根据导数几何意义先求切线斜率f′(1),(2)先求导函数零点x=1-m或x=1+m.再列表分析导函数符号变化规律,确定单调区间及极值.
试题解析:(1)当m=1时,f(x)=- x3+x2,
f′(x)=-x2+2x,故f′(1)=1.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)=-x2+2x+m2-1.
令f′(x)=0,解得x=1-m或x=1+m.
因为m>0,所以1+m>1-m.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
所以f(x)在(-∞,1-m),(1+m,+∞)内是减函数,在(1-m,1+m)内是增函数.
函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m),且f(1-m)=- m3+m2-
.
函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m),且f(1+m)=m3+m2-
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点P1(x1 , y1),P2(x2 , y2),P3(x3 , y3),P4(x4 , y4),P5(x5 , y5),P6(x6 , y6)是抛物线C:y2=2px(p>0)上的点,F是抛物线C的焦点,若|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|=36,且x1+x2+x3+x4+x5+x6=24,则抛物线C的方程为( )
A.y2=4x
B.y2=8x
C.y2=12x
D.y2=16x
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1B1B为正方形,BB1C1C为菱形,B1C⊥AC1 .
(Ⅰ)求证:平面AA1B1B⊥平面BB1C1C;
(Ⅱ)若D是CC1中点,∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角,求直线AC1与平面ABC所成角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件,量其内径尺寸,得结果如下表:
甲厂:
分组 | [29.86,29.90) | [29.90,29.94) | [29.94,29.98) | [29.98,30.02) | [30.02,30.06) | [30.06,30.10) | [30.10,30.14) |
频数 | 12 | 63 | 86 | 182 | 92 | 61 | 4 |
乙厂:
分组 | [29.86,29.90) | [29.90,29.94) | [29.94,29.98) | [29.98,30.02) | [30.02,30.06) | [30.06,30.10) | [30.10,30.14) |
频数 | 29 | 71 | 85 | 159 | 76 | 62 | 18 |
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率;
(2)由以上统计数据填下面列联表,并问是否有
的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.
甲 厂 | 乙 厂 | 合计 | |
优质品 | |||
非优质品 | |||
合计 |
附:
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列说法错误的是( )
A.设p:f(x)=x3+2x2+mx+1是R上的单调增函数, ,则p是q的必要不充分条件
B.若命题 ,则¬p:?x∈R,x2﹣x+1>0
C.奇函数f(x)定义域为R,且f(x﹣1)=﹣f(x),那么f(8)=0
D.命题“若x2+y2=0,则x=y=0”的逆否命题为“若x,y中至少有一个不为0,则x2+y2≠0”
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某中学准备在开学时举行一次高三年级优秀学生座谈会,拟请20名来自本校高三(1)(2)(3)(4)班的学生参加,各班邀请的学生数如下表所示;
班级 | 高三(1) | 高三(2) | 高三(3) | 高三(4) |
人数 | 4 | 6 | 4 | 6 |
(1)从这20名学生中随机选出3名学生发言,求这3名学生中任意两个均不属于同一班级的概率;
(2)从这20名学生中随机选出3 名学生发言,设来自高三(3)的学生数为,求随机变量
的概率分布列和数学期望.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[﹣6,2].
(1)求实数a,b的值;
(2)若实数m,n满足|am+n|< ,|m﹣bn|<
,求证:|n|<
.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB⊥PA,BC=2AB=2AD=4BE,平面PAB⊥平面ABCD,
(Ⅰ)求证:平面PED⊥平面PAC;
(Ⅱ)若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为 ,求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com