Question

3．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为2的正方形，若在侧棱AA₁上至少存在一点E，使得∠C₁EB=90°，则侧棱AA₁的长的最小值（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 设侧棱AA₁的长为x，A₁E=t，则AE=x-t，由已知得t²-xt+4=0，由此利用根的判别式能求出侧棱AA₁的长的最小值．

解答 解：设侧棱AA₁的长为x，A₁E=t，则AE=x-t，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为2的正方形，
∠C₁EB=90°，
∴$C{E}^{2}+B{E}^{2}=B{{C}_{1}}^{2}$，
∴8+t²+4+（x-t）²=4+x²，
整理，得：t²-xt+4=0，
∵在侧棱AA₁上至少存在一点E，使得∠C₁EB=90°，
∴△=（-x）²-16≥0，
解得x≥4．或x≤-4（舍）．
∴侧棱AA₁的长的最小值为4．
故选：B．

点评 本题考查长方体的侧棱长的最小值的求法，是中档题，解题时要注意根的判别式的合理运用．