Question

f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0），f（x）在[2，3]上最大值是5，最小值是2，若g（x）=f（x）-mx，在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析：由题意可得，f（x）在[2，3]增，最大值是5，最小值是2，

f(2)=2+b=2 f(3)=3a+2+b=5

，解得a、b的值，可得g（x）=x²-（m+2）x+2，对称轴为 x=

m+2

2

．再根据g（x）在[2，4]上是单调函数，可得

m+2

2

≤2，或

m+2

2

≥4，由此求得m的取值范围．

解答：解：由题意可得，f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0），在[2，3]增，最大值是5，最小值是2，
∴

f(2)=2+b=2 f(3)=3a+2+b=5

，解得 

a=1 b=0

，可得f（x）=x²-2x+2．
故g（x）=x²-（m+2）x+2，对称轴为 x=

m+2

2

． 
再根据g（x）=f（x）-mx，在[2，4]上是单调函数，可得

m+2

2

≤2，或

m+2

2

≥4．
解得m≤2，或 m≥6，即m的取值范围为（-∞，2]∪[6，+∞）．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．