Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，x∈R）的图象的一部分如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f（x）+f（x+2）的最小正周期和最值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由图象知，A、T的值，求出ω及φ的值，即得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由三角恒等变换，化简函数y，求出它的最小正周期与最值．

解答： 解：（Ⅰ）由图象知，A=2，
∵

2π

ω

=8，∴ω=

π

4

，
∴f（x）=2sin（

π

4

x+φ）；
∵函数f（x）的图象过点（1，2），
∴

π

4

×1+φ=

π

2

+2kπ，
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

4

∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）；
（Ⅱ）由题意，函数y=2sin（

π

4

x+

π

4

）+2sin[

π

4

（x+2）+

π

4

]
=2sin（

π

4

x+

π

4

）+2cos（

π

4

x+

π

4

）
=2

2

cos

π

4

x，
∴最小正周期是8，
y_max=2

2

，y_min=-2

2

．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时还应用了三角函数的恒等变换公式，数形结合思想等，是基础题．