Question

11．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为${ρ^2}-8ρsin（θ-\frac{π}{3}）+13=0$，已知$A（1，\frac{3π}{2}），B（3，\frac{3π}{2}）$，P为圆C上一点，求△PAB面积的最小值．

Answer 1

分析 求出圆C的直角坐标方程、A，B的直角坐标和点P到直线AB的距离的最小值，由此能求出△PAB面积的最小值．

解答 解：∵圆C的极坐标方程为${ρ^2}-8ρsin（θ-\frac{π}{3}）+13=0$，
∴${ρ}^{2}-8ρ（sinθcos\frac{π}{3}-cosθsin\frac{π}{3}）+13$=${ρ}^{2}-4ρsinθ+4\sqrt{3}ρcosθ+13=0$，
∴圆C的直角坐标方程为${x^2}+{y^2}+4\sqrt{3}x-4y+13=0$，
即${（x+2\sqrt{3}）^2}+{（y-2）^2}=3$．   …（4分）
又∵$A（1，\frac{3π}{2}），B（3，\frac{3π}{2}）$，
∴A（0，-1），B（0，-3），∴AB=2．…（6分）
P到直线AB距离的最小值为$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$，…（8分）
所以△PAB面积的最小值为$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．…（10分）

点评 本题考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直角坐标和极坐标的互化公式的合理运用．