Question

13．有4名男生，3名女生排成一排，
（1）要求女生必须站在在一起，有多少种不同的排法？
（2）若3名女生互不相邻，有多少种不同的排法？
（3）若甲男生不站在排头，乙女生不站在排尾，则有多少种不同排法？

Answer 1

分析 （1）捆绑法：把3名女生看作1个元素与其它排列，由分步计数原理可得；
（2）插空法：先排4名男生，在把3名女生插到所产生的5个空位，由分步计数原理可得；
（3）将排法分成两类，一类是甲站在排尾，其余的可全排，有$A_6^6$种排法；另一类是甲既不站排尾又不站排头，有$A_5^1$种排法，乙不站排尾而站余下的5个位置中一个，有$A_5^1$种排法，其余人全排列．

解答 解：（1）女生必须站在一起，是女生的全排列，有$A_3^3$种排法．全体女生视为一个元素与其他男生全排列有$A_5^5$种排法．由分步乘法计数原理知，共有$A_3^3•A_5^5=720$（种）；
（2）分两步，第一步：男生的全排列有$A_4^4$种排法；第二步：男生排好后，男生之间有3个空，加上男生排列的两端共5个空，女生在这5个空中排列，有$A_5^3$种排法，由分步乘法计数原理知，共有$A_4^4•A_5^3=1440$（种）；
（3）将排法分成两类，一类是甲站在排尾，其余的可全排，有$A_6^6$种排法；另一类是甲既不站排尾又不站排头，有$A_5^1$种排法，乙不站排尾而站余下的5个位置中一个，有$A_5^1$种排法，其余人全排列，于是这一类有$A_5^1•A_5^1•A_5^{51}$种排法，有分类加法计数原理知，共有$A_6^6$+$A_5^1•A_5^1•A_5^5$=3720（种）

点评 本题考查排列组合及简单的计数问题，涉及间接法和捆绑，插空等方法的应用，属中档题．