Question

如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥CD；
（3）若∠PDA=

π

4

，求证：平面PMC⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）取PD中点E，连接AE、EN，转化为证四边形AMNE为平行四边形．即用线线平行来推导线面平行．
（2）先证AB⊥平面PAD?AB⊥MN，再利用CD∥AB可得结论．
（3）先由PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，和∠APD=45°，E为PD中点?AE⊥PD?．MN⊥PD．再由MN⊥CD证出MN⊥平面PCD?要证结论．

解答：解：（1）取PD中点E，连接AE、EN
则EN

∥

.

1

2

CD

∥

.

1

2

AB

∥

.

AM，
故四边形AMNE为平行四边形
∴MN∥AE
又AE?平面PAD，MN?平面PAD
∴MN∥平面PAD（5分）

（2）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥AB
又AD⊥AB∴AB⊥平面PAD
∴AB⊥AE，即AB⊥MN
又CD∥AB，∴MN⊥CD（10分）

（3）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥AD
又∠APD=45°，E为PD中点∴AE⊥PD
又AE∥MN∴MN⊥PD
又MN⊥CD且PD∩CD=D
∴MN⊥平面PCD
又MN?平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD（14分）

点评：本题综合考查了面面垂直的判定和线线垂直的判定以及线面平行的判定，是对立体几何知识的综合考查．在证明线面平行时，一般转化为线线平行或面面平行来证．