Question

5．已知函数y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）在区间$（0，\sqrt{a}]$上单调递减，在区间$[\sqrt{a}，+∞）$上单调递增；函数$h（x）={（{x^2}+\frac{1}{x}）^3}+{（x+\frac{1}{x^2}）^3}（x∈[\frac{1}{2}，2]）$
（1）请写出函数f（x）=x²+$\frac{a}{x^2}$（a＞0）与函数g（x）=xⁿ+$\frac{a}{x^n}$（a＞0，n∈N，n≥3）在（0，+∞）的单调区间（只写结论，不证明）；
（2）求函数h（x）的最值；
（3）讨论方程h²（x）-3mh（x）+2m²=0（0＜m≤30）实根的个数．

Answer 1

分析 （1）由已知函数y=x+$\frac{a}{x}$的单调区间，即可得到所求函数的单调区间；
（2）化简h（x）的函数式，再由已知结论，可得函数h（x）在$[\frac{1}{2}，1]$单调递减，在[1，2]上单调递增，即可得到所求函数的最值；
（3）化简方程可得，h（x）=m或h（x）=2m，又函数h（x）在$[\frac{1}{2}，1]$单调递减，在[1，2]单调递增，讨论0＜m＜8，m=8，8＜m＜16，16＜m≤30，即可得到方程的根的个数．

解答 解：（1）根据条件，$f（x）={x^2}+\frac{a}{x^2}（a＞0）$的单调递减区间是$（0，\root{4}{a}]$，
单调递增区间是$[\root{4}{a}，+∞）$；
函数$g（x）={x^n}+\frac{a}{x^n}$的单调递减区间是$（0，\root{2n}{a}]$，单调递增区间是$[\root{2n}{a}，+∞）$；
（2）$h（x）={（{x^2}+\frac{1}{x}）^3}+{（x+\frac{1}{x^2}）^3}$=$（{x^6}+\frac{1}{x^6}）+4（{x^3}+\frac{1}{x^3}）+6$
由（1）可知，${x^6}+\frac{1}{x^6}$与$4（{x^3}+\frac{1}{x^3}）$均在$[\frac{1}{2}，1]$单调递减，在[1，2]上单调递增，
则有函数h（x）在$[\frac{1}{2}，1]$单调递减，在[1，2]上单调递增，
所以$h_{min}^{\;}=h（1）=16$，${h_{max}}=h（\frac{1}{2}）=h（2）={（\frac{9}{2}）^3}+{（\frac{9}{4}）^3}=\frac{6561}{64}$；
（3）由h²（x）-3mh（x）+2m²=0可得（h（x）-m）（h（x）-2m）=0，
所以有h（x）=m或h（x）=2m，
又函数h（x）在$[\frac{1}{2}，1]$单调递减，在[1，2]单调递增，
而$h（1）=16，h（\frac{1}{2}）=h（2）=\frac{6561}{64}$，
所以当0＜2m＜16⇒0＜m＜8时，方程无实数根；
当2m=16⇒m=8时，有一个实数根；
当0＜m＜16，且60＞2m＞16即8＜m＜16，方程有两个实数根；
当m=16，2m=32，方程有三个实数根；
当$16＜m≤30，2m≤60＜\frac{6561}{64}$时，方程有四个实数根．
综上，①当0＜m＜8时，方程实根个数为0；
②当m=8时，方程实根个数为1；
③当8＜m＜16时，方程实根个数为2；
④当m=16，2m=32时，方程实根个数为3；
⑤当16＜m≤30时，方程实根个数为4．

点评 本题考查函数的性质的运用：求单调区间和最值，考查函数方程的转化思想的运用，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．