Question

10．设把满足条件“对任意的s，t∈（一1，1）且s≠t．都有|f（s）-f（t）|≤3|s-t|”的函数f（x）组成的集合记作集合G．
（1）分别判断函数f₁（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，f₂（x）=log₂（1+x）是否属于集合G：
（2）若f₃（x）=ax²+bx且f₃（x）∈G．求证：当x∈（-2，2）时，|f₃（x）|≤6．

Answer 1

分析 （1）由新定义判断函数f₁（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，f₂（x）=log₂（1+x），是否满足对任意x₁，x₂∈（-1，1）时，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|．运用分子有理化和绝对值不等式的性质，即可得到结论；
（2）由题意可得|f₁（x₁）-f₁（x₂）|≤3|x₁-x₂|，即有|x₁-x₂|•|a（x₁+x₂）+b|≤3|x₁-x₂|，即为|a（x₁+x₂）+b|≤3，再由绝对值不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）对于f₁（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，对任意x₁，x₂∈（-1，1），
|f₁（x₁）-f₁（x₂）|=|$\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}$-$\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}$|=|$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}$|=|$\frac{{{（x}_{1}}^{\;}-{{x}_{2}}^{\;}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}$|，$\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}$＞|x₁|+|x₂|≥|x₁+x₂|
$\left|\frac{{{（x}_{1}}^{\;}-{{x}_{2}}^{\;}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{\sqrt{1+{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1+{{x}_{2}}^{2}}}\right|$＜|x₁-x₂|＜3|x₁-x₂|
|f₁（x₁）-f₁（x₂）|＜3|x₁-x₂|
函数f₁（x）=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，属于集合G：
对于f（x）=log₂（1+x）对任意x₁，x₂∈（-1，1），
|f₁（x₁）-f₁（x₂）|=|log₂（1+x₁）-log₂（1+x₂）|=|log₂$\frac{1+{x}_{1}}{1+{x}_{2}}$|，
∵1+x₁∈（0，2），1+x₂∈（0，2），
$\frac{1+{x}_{1}}{1+{x}_{2}}∈[0，+∞）$，|log₂$\frac{1+{x}_{1}}{1+{x}_{2}}$|∈R，不满足：|log₂（1+x₁）-log₂（1+x₂）|≤3|x₁-x₂|
故f₂（x）=log₂（1+x）不属于集合G．
（2）证明：f₃（x）=ax²+bx且f₃（x）∈G．
可得|f₁（x₁）-f₁（x₂）|≤3|x₁-x₂|，
即为|ax₁²+bx₁-ax₂²-bx₂|≤3|x₁-x₂|，
即有|x₁-x₂|•|a（x₁+x₂）+b|≤3|x₁-x₂|，
即为|a（x₁+x₂）+b|≤3，（x₁，x₂∈（-1，1））
当x∈（-2，2）时，|f₃（x）|=|ax²+bx|=|x|•|ax+b|≤2×3=6，
则有当x∈（-2，2）时，|f₃（x）|≤6．

点评 此题属于新概念的问题，题中考查了绝对值不等式的应用．对于此类型的题目需要对题目概念做认真分析再做题．属于中档题．