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如图,设圆(x-5)2+y2=16的圆心为C,此圆和抛物线y2=px(p>0)有四个交点,若在x轴上方的两个交点为A(x1),B(x2)(x1<x2),坐标原点为O,△AOB的面积为S.
(1)求p的取值范围;
(2)求S关于p的函数f(p)的表达式及S的最大值;
(3)求当S取最大值时,向量的夹角.

【答案】分析:(1)因为圆和抛物线有四个交点,所以联立两个方程,消去y,根据圆和抛物线的对称性,得到的关于x的一元二次方程有两个不同正根,据此可求出参数p的范围.
(2)△AOB的面积可用|AB|乘以O到AB的距离来计算,用弦长公式计算|AB|,点到直线的距离公式计算O到AB的距离,就可得到S关于p的函数f(p)的表达式,再根据(1)中所求p的范围求最大值.
(3)用数量级的夹角公式计算即可.
解答:解:(1)把 y2=px代入(x-5)2+y2=16得 x2+(p-10)x+9=0
依题意得方程x2+(p-10)x+9=0有两个不同的正根为x1,x2
∴x1+x2=10-p,x1x2=9,∴解得p<4又∵p>0
∴p的取值范围是(0,4)
(2)∵直线AB的斜率
∴AB的方程:=
即 ,即 
∴点O到AB的距离

∴S=f(p)==≤3,
当且仅当p=2时S取最大值为3
(3)S取最大值时,p=2,解方程x2-8x+9=0,得
==(=-6+6=0
∴向量的夹角的大小为90°.
点评:本题考查了圆与双曲线位置关系的判断,以及弦长公式,点到直线距离公式,向量的数量积公式的应用,用到公式较多,平时做题中应注意积累.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的射影,M为PD上一点,且|MD|=
45
|PD|
(1)求:当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.
(2)直线l:kx+y-5=0恒与点M的轨迹C有交点,求k的取值范围.

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选做题:在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:几何证明选讲
如图,PA切⊙O于点A,D为PA的中点,过点D引割线交⊙O于B、C两点.求证:∠DPB=∠DCP.
B.选修4-2:矩阵与变换
设M=
.
10
02
.
,N=
.
1
2
0
01
.
,试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ=
2
cos(θ+
π
4
)
,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
(t为参数),求直线l被圆C所截得的弦长.
D.选修4-5:不等式选讲
解不等式:|2x+1|-|x-4|<2.

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如图,设圆(x-5)2+y2=16的圆心为C,此圆和抛物线y2=px(p>0)有四个交点,若在x轴上方的两个交点为A(x1
px1
),B(x2
px2
)(x1<x2),坐标原点为O,△AOB的面积为S.
(1)求p的取值范围;
(2)求S关于p的函数f(p)的表达式及S的最大值;
(3)求当S取最大值时,向量
CA
CB
的夹角.

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(考生注意:只能从下列A、B、C三题中选做一题,如果多做,则按第一题评阅记分)
A.(坐标系与参数方程选做题)曲线
x=cosα
y=1+sinα
(α为参数)与曲线ρ2-2ρcosθ=0的交点个数为
2
2

B.(不等式选讲选做题)设函数f(x)=
|x+1|+|x-2|-a
,若函数f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围是
(-∞,3]
(-∞,3]

C.(几何证明选讲选做题)如图,从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC,已知AC=6,圆O的半径为3,圆心O到AC的距离为
5
,则AD=
2
3
2
3

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