Question

10．若x＞0，y＞0，x+y=1，则$xy+\frac{2}{xy}$的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $\frac{33}{2}$
• D． $\frac{33}{4}$

Answer 1

分析 利用基本不等式，求出xy的范围，利用函数的单调性，即可求出$xy+\frac{2}{xy}$的最小值．

解答 解：设t=xy，则
∵x＞0，y＞0，x+y=1，
∴1$≥2\sqrt{xy}$，
∴0＜t≤$\frac{1}{4}$．
$xy+\frac{2}{xy}$=t+$\frac{2}{t}$在（0，$\frac{1}{4}$]上的单调递减，∴t=$\frac{1}{4}$，$xy+\frac{2}{xy}$的最小值是$\frac{33}{4}$．
故选D．

点评 本题考查函数的最小值，考查基本不等式的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．