Question

在R上定义运算△：x△y=x（1-y）若不等式（x-a）△（x+a）＜1，对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是

 

，函数y=1-4x-2x²在（1，+∞）上的值域是

 

．

Answer 1

分析：（1）利用定义的运算建立函数关系式，解决恒成立问题转化成图象恒在x轴上方，解△＜0即可．
（2）利用配方法求区间内的最值，判定开口和对称轴与区间的位置关系，研究出单调性就可求出值域．

解答：解：（1）根据运算法则得（x-a）△（x+a）=（x-a）（1-x-a）＜1
化简得x²-x-a²+a+1＞0在R上恒成立，即△＜0，解得a∈(-

1

2

，

3

2

)
（2）y=1-4x-2x²=-2（x+1）²+3在（1，+∞）上是单调减函数
∴当x=1时y=-5，∴y=1-4x-2x²在（1，+∞）的值域是（-∞，-5）
故答案为：(-

1

2

，

3

2

)，（-∞，-5）

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数的值域，题目比较新颖，定义了新的运算，属于中档题．