三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中,已知AB=2,AC=4,A1A=3.D是BC的中点.
(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值.
(1)(2)
【解析】(1)由题意,A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),A1(0,0,3),B1(2,0,3),C1(0,4,3).=(1,2,-3),=(0,4,0).
设平面A1C1D的一个法向量为n=(x,y,z).
∵n·=x+2y-3z=0,n·=4y=0.
∴x=3z,y=0.令z=1,得x=3.n=(3,0,1).
设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ,
∵=(1,-2,3),
∴sinθ=|cos〈·n〉|==.
(2)设平面A1B1D的一个法向量为m=(a,b,c).
=(2,0,0),∵m·=a+2b-3c=0,m·=2a=0,
∴a=0,2b=3c.令c=2,得b=3.m=(0,3,2).
设二面角B1A1DC1的大小为α,
∴|cosα|=cos|〈m,n〉|=,则sinα==.
∴二面角B1A1DC1的正弦值为.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第六章第4课时练习卷(解析版) 题型:填空题
若a>0,b>0,且=1,则a+2b的最小值为________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第六章第2课时练习卷(解析版) 题型:填空题
在平面直角坐标系中,不等式组(a为常数),表示的平面区域的面积为9,那么实数a的值为________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第六章第1课时练习卷(解析版) 题型:填空题
关于x的不等式x2-ax-20a2<0任意两个解的差不超过9,则a的最大值与最小值的和是________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第六章第1课时练习卷(解析版) 题型:填空题
已知不等式x2-2x+k2-3>0对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围是________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第6课时练习卷(解析版) 题型:填空题
若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α所成角的正弦值为________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第6课时练习卷(解析版) 题型:填空题
如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则=________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第5课时练习卷(解析版) 题型:解答题
在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的正三角形底铁皮箱,当箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年高考数学总复习考点引领+技巧点拨第八章第3课时练习卷(解析版) 题型:解答题
在三棱锥SABC中,SA⊥平面ABC,SA=AB=AC=BC,点D是BC边的中点,点E是线段AD上一点,且AE=3DE,点M是线段SD上一点,
(1)求证:BC⊥AM;
(2)若AM⊥平面SBC,求证:EM∥平面ABS.
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