Question

已知函数f(x)=2sinxcos(x+

π

3

)+

3

cos2x+

1

2

sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；   
（2）求函数f（x）的最大值与最小值；
（3）写出函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：先根据两角和的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简cos（x+

π

3

），合并后再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把f（x）化为一个角的正弦函数，
（1）利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（2）根据正弦函数的值域即可求出f（x）的最大值和最小值；
（3）根据正弦函数的单调性即可求出f（x）的递增区间．

解答：解：f(x)=2sinxcos(x+

π

3

)+

3

cos2x+

1

2

sin2x
=2sinx（cosxcos

π

3

-sinxsin

π

3

）+

3

cos²x+

1

2

sin2x
=sinxcosx-

3

sin²x+

3

cos²x+

1

2

sin2x
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

），
（1）因为T=

2π

2

=π，所以f（x）的最小正周期为π；
（2）由-1≤sin（2x+

π

3

）≤1，得到-2≤f（x）≤2，
则函数f（x）的最大值为2，最小值为-2；
（3）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，
解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
则f（x）的单调递增区间为：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]．

点评：此题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，以及正弦函数的单调性．利用三角函数的恒等变换把f（x）化为一个角的正弦函数是解本题的关键．