Question

已知x=1是函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0，
（1）求m与n的关系式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若m＜-4，求证：函数y=f（x）的图象与x轴只有一个交点．

Answer 1

分析：（1）由x=1是函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，求导，则f′（1）=0，求得m与n的关系表达式；
（2）根据（I），代入f（x）中，求导，令导数f′（x）＞0，求得单调增区间，令f′（x）＜0，求得单调减区间．
（3）先由f（1）=m+4，由题意得到函数f（x）的图象在x∈(1+

2

m

，+∞)上和x轴没有交点，在x∈(-∞，1+

2

m

)上单调递减，与x轴有一个交点，从而证得：若m＜-4，函数y=f（x）的图象与x轴只有一个交点．

解答：解：（1）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n因为x=1是函数f（x）的一个极值点，所以f′（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0，所以n=3m+6
（2）由（I）知，f′（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+

2

m

)]
当m＜0时，有1＞1+

2

m

，当x变化时，f（x）与f′（x）的变化如下表：

x	(-∞，1+ 2 m )	1+ 2 m	(1+ 2 m ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	＜0	0	＞0	0	＜0
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

故有上表知，当m＜0时，f（x）在(-∞，1+

2

m

)单调递减，在(1+

2

m

，1)单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
（3）证明：f（1）=m+4，当x＜-4时，f（1）＜0，
则函数f（x）的图象在x∈(1+

2

m

，+∞)上和x轴没有交点，在x∈(-∞，1+

2

m

)上单调递减，
与x轴有一个交点，综上所述，若m＜-4，函数y=f（x）的图象与x轴只有一个交点．

点评：考查利用导数研究函数的单调区间和极值问题，求函数的单调区间实质是解不等式，导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．属中档题．