Question

【题目】已知椭圆 的离心率为 ，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆M：（x+1）2+y2=r2（0＜r＜1）．过椭圆C的上顶点A作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点（不同于点A），直线AB，AD的斜率分别为k1 ， k2 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当r变化时，①求k1k2的值；②试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题设知， ， ，又a2﹣b2=c2，

解得a=2，b=1．

故所求椭圆C的方程是

（2）

解：AB：y=k1x+1，则有 ，化简得 ，

对于直线AD：y=k2x+1，同理有 ，

于是k1，k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0的两实根，故k1k2=1．

考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD若过定点，则猜想定点在y轴上．

由 ，得 ，于是有 ．

直线BD的斜率为 ，

直线BD的方程为 ，

令x=0，得 ，

故直线BD过定点

【解析】（1）利用已知条件求出a，b即可求解椭圆C的方程．（2）AB：y=k1x+1，则有 ，化简得 ，直线AD：y=k2x+1，同理有 ，推出k1 ， k2是方程（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0的两实根，故k1k2=1．考虑到r→1时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD若过定点，则猜想定点在y轴上．联立直线与椭圆方程，求出相关点的坐标，求出直线BD的方程，推出直线BD过定点．