Question

已知A₁，A₂为双曲线C：

x2

2

-y2=1的左右两个顶点，一条动弦垂直于x轴，且与双曲线交于P，Q（P点位于x轴的上方），直线A₁P与直线A₂Q相交于点M，
（1）求出动点M（2）的轨迹方程
（2）设点N（-2，0），过点N的直线交于M点的轨迹上半部分A，B两点，且满足

NA

=λ

NB

，其中λ∈[

1

5

，

1

3

]，求出直线AB斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），从而可得直线A₁P的方程为：

y

y0

=

x+ 2

x0+ 2

直线A₂Q的方程为：

y

-y0

=

x- 2

x0- 2

由两式得到：

y2

-y02

=

x2-2

x02-2

，结合

x02

2

-y02=1，可得M的轨迹方程
（2）

NA

=λ

NB

，∴A，B，N三点共线，及点N的坐标为（-2，0）．可设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．，联立方程

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

消去x得(

1

k

y-2)2+2 y2=2，即

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0
根据条件可知

k≠0 (  4 k ) 2-8• 2k2+1 k2 ＜0

及

y1+ y2= 4k 2k2+1 y1y2= 2k2 2k2+1

，又由

NA

=λ

NB

，建立坐标之间的关系，结合函数的单调性进行求解即可

解答：解：（1）设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)
直线A₁P的方程为：

y

y0

=

x+ 2

x0+ 2

，（1）
直线A₂Q的方程为：

y

-y0

=

x- 2

x0- 2

，（2）
将（1）×（2）得到：

y2

-y02

=

x2-2

x02-2

，又因为

x02

2

-y02=1．
所以得到M的轨迹方程为：

x2

2

+y2=1，（y≠0）
（2）

NA

=λ

NB

，∴A，B，N三点共线，而点N的坐标为（-2，0）．
设直线AB的方程为y=k（x+2），其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．
由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

消去x得(

1

k

y-2)2+2 y2=2，即

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0
根据条件可知

k≠0 (  4 k ) 2-8• 2k2+1 k2 ＜0

解得0＜|k|＜

2

2

（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据韦达定理，得

y1+ y2= 4k 2k2+1 y1y2= 2k2 2k2+1

又由

NA

=λ

NB

得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂）

x1+2=λ(x2+2) y1=λy2

从而

(1+λ)y2= 4k 2k2+1 λ y 2 2 = 2k2 2k2+1

消去y₂得

(1+λ)2

λ

=

8

2k2+1

消去
令∅(λ)=

(1+λ)2

λ

，λ∈[

1

5

，

1

3

]则∅′(λ)=1- 

1

λ2

 =

λ2-1

λ2

由于

1

5

≤λ≤

1

3

所以∅（λ）是区间[

1

5

，

1

3

]上的减函数，
从而∅(

1

3

)≤∅(λ)≤∅(

1

5

)，即

16

3

≤∅(λ)≤

36

5

，

16

3

≤

8

2k2+1

≤  

36

5

，∴

16

3

≤

8

2k2+1

≤

36

5

解得

2

6

≤|k|≤

1

2

而0＜k＜

2

2

，∴

2

6

≤k≤

1

2

因此直线AB的斜率的取值范围是[

2

6

，

1

2

]

点评：本题主要考查了由双曲线的性质求解椭圆的方程，及直线与圆锥曲线的位置关系的综合考查，要求考生具备一定的综合能力及推理运算的能力，综合性比较强．